できません。

特定技能１号の在留期間は、通算5年間です。また現在、介護分野には特定技能2号はありません。
ただし、介護福祉士国家試験に合格をすれば、在留資格「介護」へ在留資格を変更することができます。在留資格「介護」では在留資格を永続的に更新することができ、扶養親族（配偶者及び子）の「家族滞在」も原則的に認められます。

なお、特定技能終了後にEPA候補者や技能実習生として入国することも可能です。